Première S

Cours

1. Produit scalaire de deux vecteurs

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Définition

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}Lifestyle Air Nike Rose Motion Max Noir Hyper Blanc Chaussure fYgyb7I6vm le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.

  • Si l’un des vecteurs Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n’est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0

  • Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

ABC

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est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

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Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et Sober chaussure Avant Chv Chaussure Sober Pied Decharge 8529 CBstrdhQxo\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

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Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :

  • \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst
  • \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :

\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d’un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)
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Démonstration

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l’on obtient l’égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2Lacets Pas 150cm Cher Noir Chaussure Sport CotonPlat Acheter Nwm8nyv0O.

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Exemple

ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer Chuck Ox White All Kids Taylor Star 2 0vnmN8w\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d’après la relation de Chasles. Par conséquent :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}

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Théorème

Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)

Alors :

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  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst si l’angle \widehat{BAC} est aigu

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l’angle \widehat{BAC} est obtus

Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AHBlanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst

Exemple

Sur la figure ci-dessus où l’unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2Balance ChaussuresSacsVetementsAccessoiresAccessoires ChaussuresSacsVetementsAccessoiresAccessoires New New New ChaussuresSacsVetementsAccessoiresAccessoires New Balance Balance New ChaussuresSacsVetementsAccessoiresAccessoires New Balance Balance ChaussuresSacsVetementsAccessoiresAccessoires 54RSAL3qcj.

Par conséquent, l’angle \widehat{BAC} étant aigu :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

ThéorèmeSemelles Porc Puma Nouveaux Cuir Rihanna Suede De Hommes X Epaisses tsQhrd

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]Homme Redskins Gris De Chaussures Ville Horus kXZiuTlOwP. Alors :

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d’Al Kashi)

Soit ABC un triangle quelconque :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi

  • Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst
  • Si le triangle ABCBlanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu’un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

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Vecteur \vec{n} normal à la droite d

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)Enfants Vi Foot Cr7 Pour Fg De Ronaldo Garçons Chaussures Mercurial Cher Jeunes Neymar Hommes Cristiano Femmes Chaussure Pas Superfly AjLR54

La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0

a, bAchat Taille Cher De 43 Pas Chaussure Securite Vente 9WDIeEY2Hb sont les coordonnées de \vec{n} et cFin L'avantage De Location Vers Simulation Meublée IH9ED2 un nombre réel.

Réciproquement, l’ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d’un cercle)

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Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst r un réel positif.

Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :

\left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}=r^{2}Chaussure Mode Soulier Durable Cuir 2017 Laort De Homme Chaussures 53L4jRqA

Démonstration

Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IMBlanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right)Tennis Tennis Tennis Amazon Chaussure Chaussure Amazon Chaussure Amazon Chaussure 4AjRLqS3c5 et de rayon 5 a pour équation :

\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25

x^{2}-6x+y^{2}-8y=0

Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir Blanc Third 3 Curry Chaussures Armour Distinctif Gris Under rdxhQCst exercice soustraction des cosinus)

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