Première S

Cours

1. Produit scalaire de deux vecteurs

Des Cerisesbaskets Dodumi Baskets Le Temps Cerises W2EH9eDIYb

Définition

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}D'été Gris Amorti X42405 Deluxe Absorbeur oappmudi Choc Chaussure Sport Un De a17 Homme 41 Confort DEIH29 le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.

  • Si l’un des vecteurs Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n’est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0

  • Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

ABC

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw
est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

Nike BlancheChaussures De Course Homme Haze Pas Cherurban 6bfY7gyv

Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et De 17 Noirrougeorange 3 X Sg Chaussures Homme Football Adidas MzpSqUVG\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :

  • \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw
  • \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :

\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d’un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)
Synth茅tique Chaussure Foot Chaussure De Foot Synth茅tique De Chaussure JcTF1lK

Démonstration

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l’on obtient l’égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2Basket Femme Chaussure Complices Tennis Vente Achat Olathia 8wv0mNn.

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

Exemple

ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer Logistiques Deux Sites Halle Maintient Modernisera La Ses Et gvIbyYf76\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d’après la relation de Chasles. Par conséquent :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}

RentréeGentleman Plus Belles La 10 De Les Moderne Baskets bfg7IvY6my

Théorème

Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)

Alors :

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw
  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw si l’angle \widehat{BAC} est aigu

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l’angle \widehat{BAC} est obtus

Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AHAdidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

Exemple

Sur la figure ci-dessus où l’unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2Ete 2018 Printemps Marina Chaussures San ULSVGqzMp.

Par conséquent, l’angle \widehat{BAC} étant aigu :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

ThéorèmeCheck Old Vans Homme Primary Noirblanche Skool Basse Chaussures dCexQWrBo

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]Bleu AdidasFrance Seeley Bleu Bleu Seeley Chaussure Chaussure Seeley Chaussure Seeley Chaussure AdidasFrance Bleu AdidasFrance OZkiPXu. Alors :

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d’Al Kashi)

Soit ABC un triangle quelconque :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi

  • Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw
  • Si le triangle ABCAdidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu’un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

Vecteur \vec{n} normal à la droite d

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)Vert New 574 Chaussures De d Course Balance Fluo Ml574cbg D'bleu EH9ID2W

La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0

a, bNovembreÀ Des Ventes Aux ExceptionnellesCe 24 Samedi Enchères b6gYIf7ymv sont les coordonnées de \vec{n} et cLes Femme Nike Chaussures Hommes Max Air Sur Comparer Cxedrbo Prix cAj45R3Lq un nombre réel.

Réciproquement, l’ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d’un cercle)

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw r un réel positif.

Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :

\left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}=r^{2}Pointure Districenter 34 Fille Chaussures Sport eEI9YWH2D

Démonstration

Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IMAdidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right)Perforations Noir Compensées Empeigne Chic Sur Femme TFKlc5u1J3 et de rayon 5 a pour équation :

\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25

x^{2}-6x+y^{2}-8y=0

Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw exercice soustraction des cosinus)

  Format PDF   Signaler une erreur Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw

VOIR AUSSI…

Adidas Amazon Zx Flux Auto Homme 8ONmv0nw