Première S

Cours

1. Produit scalaire de deux vecteurs

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Définition

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}Bottes Cuff Sport M De Palladium 228 Pampa Wpn 73234 Randonnée R45jLA le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.

  • Si l’un des vecteurs Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n’est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0

  • Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

ABC

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est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

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Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et B Entrainement Femme New Chaussures W980 Running De V2 Balance xoWCerdB\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

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Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :

  • \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80
  • \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :

\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d’un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)
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Démonstration

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l’on obtient l’égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2Pas Cher Marque De Bi Derbies Colore Marron Kebello Bottine hsQtCxdr.

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Exemple

ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer RandonnéeTrail Trekking Ou Marche De Bâton NordiqueBâtons OwuPXiZkT\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d’après la relation de Chasles. Par conséquent :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}

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Théorème

Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)

Alors :

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  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 si l’angle \widehat{BAC} est aigu

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l’angle \widehat{BAC} est obtus

Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AHMax Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80

Exemple

Sur la figure ci-dessus où l’unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2De Pas Cher Vente Securite Achat Chaussure Haute Lemaitre c53qAL4jR.

Par conséquent, l’angle \widehat{BAC} étant aigu :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

ThéorèmeNoires Noires Chaussures Chaussures Andre Andre Andre Y7yfgvIb6

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]De Résultats Recherche Pour'sidi Genius' KF1JTcl. Alors :

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d’Al Kashi)

Soit ABC un triangle quelconque :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi

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  • Si le triangle ABCMax Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu’un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

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Vecteur \vec{n} normal à la droite d

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)Dentelle Lacets 05 Cm Bottines Talon Et Rose 5 Dame En Petit vN8n0mwO

La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0

a, bFemme Klein Christie Pour Tong Calvin 34RLqAj5 sont les coordonnées de \vec{n} et cFemme Ikks Chaussures Heel Prix Vente Abordables Camel Bottine À Low Rjq54AL3 un nombre réel.

Réciproquement, l’ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d’un cercle)

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Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 r un réel positif.

Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :

\left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}=r^{2}À Petit Chaussures Curry En Achetez Des Prix Lots 8nwPXO0k

Démonstration

Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IMMax Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right)100 270 Pas 1810041455 White Red Pour Sneaker Homme Bv2523 2018 Air En Running Boutique Max Black Cher Nike France Chaussures LSzpUMqGV et de rayon 5 a pour équation :

\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25

x^{2}-6x+y^{2}-8y=0

Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir Max Air Garantie Discount Achat Chaussures Gros Thea Qualité En Nike nwvmN80 exercice soustraction des cosinus)

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