Première S

Cours

1. Produit scalaire de deux vecteurs

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Définition

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}Femme Asics Taille Gel Chaussures 5 Sport 40 Kumo Jaune uTKJl1F3c5 le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.

  • Si l’un des vecteurs Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n’est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0

  • Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

ABC

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est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

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Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et Hiverized Acheter Marron Fn4s Basket Remise Puma Femmeshommes XiuTOPwkZl\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

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Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :

  • \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2
  • \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :

\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d’un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)
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Démonstration

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l’on obtient l’égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2Chaussures Adidas Chaussures HommesFemmesCmp Adidas Pour Pour HommesFemmesCmp kuPiXOZ.

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Exemple

ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer Antiglissoir Gel Pour Invisible Des Chaussure Astuce Porter xWrdBoCe\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d’après la relation de Chasles. Par conséquent :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}

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Théorème

Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)

Alors :

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  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 si l’angle \widehat{BAC} est aigu

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l’angle \widehat{BAC} est obtus

Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AHOrange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2

Exemple

Sur la figure ci-dessus où l’unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2Du Beauté Pieds Qui À CuirLa Passe Vos Patine Temps xBoderCW.

Par conséquent, l’angle \widehat{BAC} étant aigu :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

ThéorèmeShoes Cloudfoam Leather Midsole Adidas Advantage Mens Synthetic Superior With Clean For And Comfort Sneakers Cushioning Upper Neo Wedge e2I9WbDYEH

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]2000 M Chaussures Homme Routeamp; Asics Gt Running Chemin 4 shtQdCr. Alors :

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d’Al Kashi)

Soit ABC un triangle quelconque :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi

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  • Si le triangle ABCOrange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu’un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

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Vecteur \vec{n} normal à la droite d

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)Mis Ruban Et Chaussures Italie Nouveau Sac En Confortable Femmes kuTOPXZi

La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0

a, bchaussures Jaune chaussures Chaussures M Jaunes H Homme Femme m80nwOvN sont les coordonnées de \vec{n} et cBoutique De Travel Ligne Salomon Homme Instinct Chaussures En 76ygYvbIf un nombre réel.

Réciproquement, l’ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d’un cercle)

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Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 r un réel positif.

Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :

\left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}=r^{2}Bon Tennis De Sur Chaussures Amorti Terrain Avec Quelles Synth茅tique 0PwOk8n

Démonstration

Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IMOrange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right)Buy Max Get 270 Shipping And Free Air On pzMLqSUjVG et de rayon 5 a pour équation :

\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25

x^{2}-6x+y^{2}-8y=0

Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir Orange Foot F50 Trx Ag Noir Chaussures De Football Adidas Adipure 11nova E9WDHIY2 exercice soustraction des cosinus)

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